El uso de 2-formas simplécticas no-canónicas en sistemas con constricciones de segunda clase

Abstract

Un campo de las matemáticas que ha tenido relevancia en la física moderna es el de formas diferenciales. Este concepto logra describir la electrodinámica como se resume en [24] o bien la relatividad general como se discute en [25]. Incluso se pueden exponer fenómenos específicos de la óptica como lo es la trayectoria de la luz en sistemas ópticos así como la re escritura de la ecuación de Schrödinger en la mecánica cuántica [26]. Una particularidad importante en estas referencias de la física son aquellas formas diferenciales de dimensión 2 que cumplen con antisimetría, no singularidad y cerradura, de hecho son conocidas como 2-formas simplécticas que se definirán de manera precisa en el capitulo 3 del presente trabajo; una 2-forma que resulta inmediata de la definición de estructura simpléctica es la 2-forma simpléctica canónica la cual puede ser escrita como ω = 21 ω0μν dxμ ∧ dxν , cuyas componentes ω0μν están definidas por la matriz   ω0μν = O −I IO La mecánica clásica no es ajena a las estructuras simplécticas, pues un ejem- plo de la aplicabilidad de estas en el formalismo hamiltoniano es el llamado espacio fase del sistema mecánico. Dentro de los sistemas mecánicos, existen los sistemas con constricciones y sistemas sin constricciones, o un sistema singular o no singular respectivamente. Es posible definir estos dos conceptos a través del formalismo lagrangiano calculando el determinante de la Hessiana asociada a la lagrangiana del sistema, si el determinante es distinto de cero entonces se define como un sistema no singular, de lo contrario se define como singular. Es relevante hacer esta distinción entre los sistemas mecánicos, pues para hallar una función Hamiltoniana de un sistema a partir de una función lagrangiana se observa que en los sistemas no singulares es suficiente el uso de la transformada de Legrendre, sin embargo en sistemas singulares se encuentran distintos obstáculos para la descripción hamiltoniana equivalente a la lagrangiana.