COMPARACIÓN DE ESQUEMAS DE TOMOGRAFÍA CUÁNTICA

Abstract

La fÌsica cu·ntica es un ·rea que surgiÛ hace m·s de cien aÒos a partir de la observaciÛn de ciertos fenÛmenos, como la radiaciÛn del cuerpo negro, cuyos resultados experimentales no coincidÌan con los resultados analÌticos de la fÌsica cl·sica. Plank cuantizÛ o discretizÛ la energÌa que irradiaba un cuerpo negro, lo que posteriormente retomaron muchos otros fÌsicos para resolver problemas que hasta el momento no tenÌan soluciÛn. En los sistemas cu·nticos, como resultado de una mediciÛn, el estado inicial de un sistema se destruye, es decir, cambia a uno nuevo. Por lo anterior, ante cualquier interacciÛn, es imposible describirlo con certeza. Sin embargo, podemos describirlo en forma estadÌstica, es decir, por medio de probabilidades mediante una matriz de densidad . Para que pueda representar a un estado cu·ntico debe ser hermÌtica, semideÖnida positiva y de traza 1, adem·s de pertenecer a un espacio de Hilbert. Durante los ̇ltimos aÒos se han escrito numerosos artÌculos acerca de la mediciÛn directa de estados cu·nticos [1, 2, 3, 4, 5]. La idea general del problema es obtener la parte real y la parte imaginaria de la funciÛn de onda (o los elementos de la matriz de densidad ) directamente a traves de las mediciones de alg ̇n observable: tomografÌa cu·ntica de estados. Existen distintos esquemas de recostrucciÛn de estados cu·nticos (recostrucciÛn de ). La tomografÌa vÌa MUB es un esquema de mediciÛn Ûptimo en el caso de tener un estado cu·ntico desconocido a priori [6, 7] porque no hay redundancia entre las diferentes mediciones. Otro esquema que se reconoce como Ûptimo para la tomografÌa de estado cu·ntico es la tomografÌa vÌa SIC-POVM [8, 9]. Una ventaja de este mÈtodo es que se deben realizar menos mediciones que en la tomografÌa vÌa MUB [9]. El esquema Ûptimo al trabajar con mediciones dÈbiles (que se ven muy afectadas por el aparato de mediciÛn) es la tomografÌa vÌa Bases Equidistantes, en la cual cada base corresponde a una distribuciÛn multinomial [10]. De modo que, cuando se trabaja con una base equidistante, el problema estadÌstico se reduce a una ̇nica distribuciÛn de probabilidad para cada base, en lugar de las que naturalmente aparecen cuando se trabaja directamente con mediciones dÈbiles [11, 12, 13]. Debido a que la informaciÛn contenida en es de car·cter probabilÌstico, es inherente en- frentarnos al error estadÌstico y la existencia de una diferencia entre la matriz de densidad real y la matriz de densidad estimada e; esta diferencia varÌa al reconstruir por medio de distintos esquemase incluso, usando el mismo esquema, puede variar al reconstruir el mismo experimento) para hacer la reconstrucciÛn, lo cual resulta costoso puesto que la experimentaciÛn fÌsica para las mediciones requieren de equipo muy especializado; por esta razÛn, nos interesa establecer si un esquema de tomografÌa es m·s eÖciente que otro. Nuestro objetivo es comparar numÈricamente la eÖciencia, por medio de la informaciÛn gana- da, al reconstruir por medio de los tres esquemas de tomografÌa m·s populares en la literatura: tomografÌa vÌa MUBs, tomografÌa vÌa SIC-POVM y tomografÌa vÌa de BE. Suponiendo que el estado cu·ntico de un sistema cuya dimensión es un n ̇mero primo p entre 2 y 53 se pueda re- construir por medio de los tres esquemas anteriores, comparamos el promedio de la información ganada con cada uno de los esquemas despuÈs de generar 100 (p + 1) copias aleatorias del estado inicial. Esta tesis est· organizada como sigue: En el capÌtulo 2 presentamos algunos conceptos pre- liminares como el de sistemas cu·nticos, matriz de densidad y mediciones cu·nticas y describimos los tres esquemas a analizar. En el capÌtulo 3 hablamos de la entropÌa de una variable aleatoria y la información ganada, describimos cómo obtenemos la información ganada para cada uno de los esquemas. En el capÌtulo 4 explicamos la necesidad de utilizar matrices aleatorias al simular las probabilidades necesarias para obtener la información ganada con cada esquema, detallamos cómo simulamos las probabilidades pks y cómo calculamos numéricamente la información gana- da; por último, presentamos los resultados por medio de las graÖcas que obtuvimos después del cálculo numérico. En el capítulo 5 escribimos las conclusiones arrojadas por la evidencia que muestran los resultados obtenidos. Por último, el capítulo 6 contiene dos apéndices para quien estÈ interesado en consultar los postulados de la mec·nica cu·ntica o los vectores fiduciarios se utilizaron para construir las SIC-POVM de cada dimensión.