CORRESPONDENCIAS CLÁSICO-CUÁNTICAS EN EL REGIMÉN CAÓTICO DEL OSCILADOR DE DUFFING

Abstract

En los u ́ltimos an ̃os la constante emergencia del caos nos ha encaminado a buscar nuevos planteamientos de la din ́amica cla ́sica e incluso a cambiar nuestra idea de las leyes de la naturaleza. La primer noci ́on de caos nos la dio Einstein en 1917, aunque su trabajo fue el pionero, este no se utilizo ́ du- rante los siguientes 40 an ̃os y posteriormente a finales del siglo XIX Poincare descubrio ́ la diferencia entre los sistemas integrables y los no integrables [1]. Se dice que un sistema es cao ́tico cuando es sensible a las condiciones iniciales, es decir; pequen ̃os cambios en ellas, producen grandes diferencias en el comportamiento del sistema conforme se evoluciona en el tiempo. De esta manera, aunque se conocen de forma precisa las secuencias que les dan origen, es decir, las leyes que rigen su evolucio ́n, son impredecibles cuando hablamos de periodos largos de tiempo debido a su alta sensibilidad a las condiciones iniciales. De modo que la diferencia entre valores que inicialmen- te est ́an muy pr ́oximos unos de otros, crece exponencialmente con el paso del tiempo, produciendo as ́ı un comportamiento en el sistema imposible de conocer de antemano [2]. Esta sensibilidad a las condiciones iniciales es una propiedad caracter ́ıstica del caos e implica por un lado que el sistema es irreversible, y por otro lado, que una pequen ̃a diferencia en un punto inicial tendr ́a como consecuencia una gran diferencia en un tiempo futuro. Una manera para cuantificar el grado de caos es midiendo la distancia entre dos trayectorias cualesquiera, y si esta distancia crece exponencialmente (coeficiente de Liapunov)[3], este sistema sera ́ cao ́tico. (En sistemas regulares la distancia entre dos trayectorias pude crecer, pero nunca exponencialmente). Por otro lado, el principio de correspondencia posiciona a la mec ́anica cla ́sica como un l ́ımite emergente de la mec ́anica cua ́ntica, particularmen- te cua ́ndo la din ́amica de un sistema cua ́ntico cubre a ́reas en el espacio de fase cuyas unidades son mucho mayores que la constante de Planck ? [4]. En este sentido, una de las preguntas ma ́s intrigantes sobre las correspon- dencia cu ́antico-cl ́asico corresponde al de los sistemas cao ́ticos, i.e. ¿cua ́l es la relacio ́n entre la dina ́mica cua ́ntica y la dina ́mica cao ́tica cla ́sica? o en otras palabras, ¿co ́mo emerge el caos a nivel cl ́asico de algu ́n cierto sistema cua ́ntico? estas preguntas no son triviales de contestar ya que, como se ha mencionado, el caos cl ́asico esta ́ relacionado fuertemente con componentes no-lineales en la dina ́mica; por otro lado, la mec ́anica cu ́antica est ́a basada en una teor ́ıa lineal que en principio no es sensible a las condiciones iniciales. Adicionalmente, las trayectorias cla ́sicas no pueden ser concebidas en ellas si no es mediante la idea de ensambles estad ́ısticos de donde se pueden obtener promedios de observables f ́ısicos e.g., las trayectorias en el espacio de fase. Como es de imaginarse el estudio de los sistemas dina ́micos no integrables o cao ́ticos tanto cla ́sicos como cu ́anticos, va de la mano con el dominio en el empleo de m ́etodos num ́ericos para resolverlos. Sin embargo, a pesar de que existen diversos modelos y t ́ecnicas anal ́ıticas para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales con cierta forma espec ́ıfica, tambi ́en existen muchos problemas, que se presentan en ́areas como la f ́ısica, las matema ́ticas y las ingenier ́ıas, que no se pueden resolver mediante estas t ́ecnicas debido a que so ́lo algunas ecuaciones diferenciales admiten soluciones en t ́erminos de funciones elementales. En este sentido, uno de los grandes retos para estudiar los sistemas cao ́ticos cua ́nticos, reside en encontrar la formulacio ́n adecuada (la cuantizaci ́on del sistema cao ́tico) y desarrollar los m ́etodos num ́ericos adecuados para resolver la dina ́mica.