ANA ́LISIS DE SIMETRIAS DE UN SISTEMA NO LINEAL DE OSCILACIONES DE UNA CUERDA ELASTICA CON CORRIENTE ELECTRICA EN UN CAMPO MAGNETICO CONSTANTE

Abstract

Se reportan los resultados de una investigacio ́n teo ́rica sobre aplicacio ́n del m ́etodo de ana ́lisis de grupos, basado en el concepto de simetr ́ıa puntual de una ecuacio ́n diferencial, a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no lineales para tres funciones inc ́ognitas de dos variables independientes que modela el movimiento tridimen- sional de una cuerda ela ́stica con corriente el ́ectrica en un campo magn ́etico constante, el cual es un campo magn ́etico que no depende del tiempo, es decir que es una funcio ́n solamente de las coordenadas espaciales. Una cuerda delgada es un sistema ba ́sico y fa ́cilmente accesible, el cual es usado comu ́nmente en clases y laboratorio de f ́ısica para ilustrar y estudiar el movimiento on- dulatorio y las oscilaciones. Pero, en la realidad, una cuerda ela ́stica es un sistema del que se derivan varios modelos, hasta no lineales, incluyendo acoplamiento de los modos transversales, longitudinales y torsionales cuando la rigidez, torsio ́n, o geometr ́ıa no lineal son considerados (e.g., [1],[2],[3] y las referencias en estos). El estudio de los modelos matema ́ticos de cuerdas vibrantes es importante en aspectos de la f ́ısica, ingenier ́ıa y matem ́aticas porque provee conceptos fundamentales y enfoques en todos estos campos. Empezado de la ecuacio ́n lineal de onda, efectos complicados de la amortiguaci ́on viscosa, vibraciones forzadas, y diferentes tipos de sistemas no lineales juegan un papel importante en varios sistemas f ́ısicos y de ingenier ́ıa, los cuales demandan diferentes m ́etodos matema ́ticos para resolver las ecuaciones correspondientes. El prop ́osito de esta tesis es estudiar los efectos de interaccio ́n de una corriente el ́ectrica en un cable delgado (cuerda el ́astica) con un campo magn ́etico esta ́tico no uniforme sobre el movimiento del sistema f ́ısico, para el cual estos factores son de importancia ([3], [4]). El m ́etodo usual para elaborar el modelo matema ́tico de un sistema f ́ısico es comenzar de los principios f ́ısicos del fen ́omeno bajo estudio y considerar algunas suposiciones limitantes que nos permiten describir las ecuaciones matema ́ticas apropiadas. En este caso, son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. Cuando las ecuaciones de un modelo son escritas, se convierten en una entidad ma- tema ́tica; en otras palabras, se vuelven independientes del feno ́meno f ́ısico que pretenden describir. Pueden ser resueltas por cualquier m ́etodo viable sin considerar las restriccio- nes f ́ısicas iniciales. Si queremos una soluci ́on que tenga significado e interpretacio ́n f ́ısica, debemos verificar si satisface las restricciones f ́ısicas impuestas al modelo. De otra forma, la soluci ́on solo tiene significado matem ́atico. En este trabajo, analizamos las soluciones desde ambos puntos de vista, siguiendo los pasos descritos a continuaci ́on. Con el fin de aplicar los m ́etodos de teor ́ıa de grupos y a ́lgebras Lie a las ecuaciones mencionadas, partimos del problema conocida como la clasificaci ́on de grupos de ecua- ciones diferenciales. En ́este planteamiento matem ́atico, las funciones que determinan la corriente el ́ectrica y el campo magn ́etico entran al sistema como funciones-para ́metros, cuya forma particular se deduce con el objetivo que el sistema admita el grupo de simetr ́ıas ma ́s amplio posible. Las simetr ́ıas puntuales, obtenidas como solucio ́n del problema de clasificacio ́n de grupos, permiten determinar las formas de soluciones particulares del sistema inicial. Estas formas de soluciones son compatibles con el sistema original y dependen de un nu ́mero menor de las variables independientes. La sustitucio ́n de las formas obtenidas al sistema dado lo reduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias llamado el sistema-factor. Al resolver el sistema-factor se obtiene una soluci ́on particular anal ́ıtica del sistema inicial. Posteriormente a esas soluciones anal ́ıticas se busca la interpretaci ́on f ́ısica. La tesis est ́a estructurada de la siguiente manera. En la parte introductoria se formulan los objetivos de investigaci ́on, se describe el modelo y el sistema de ecuaciones diferenciales a estudiar. Se describe la metodolog ́ıa de ana ́lisis de grupos de simetr ́ıa. En el Cap ́ıtulo 2 se presentan las definiciones ba ́sicas y se formulan los teoremas necesarios para el desarrollo de estudio. El Cap ́ıtulo 3 contiene la resoluci ́on del problema de clasificacio ́n de grupos. En el Cap ́ıtulo 4 se deducen las transformaciones de equivalencia que permiten simplificar las formas de las funciones para ́metros y de esa manera simplificar el proceso de bu ́squeda de soluciones particulares. Las soluciones invariantes se obtienen en Cap ́ıtulo 5 y las conclusiones se encuentran en el 6. Cabe aclarar que los c ́alculos rutinarios se realizaron en el programa Maxima de libre acceso.