Dificultades y ambigüedades en la formulación Hamiltoniana de la mecánica cuántica y mecánica estadística

Abstract

El empleo de invariantes en el estudio de sistemas dinámicos, autónomos y no-autónomos, es una de las principales formas de abordar problemas en física clásica. Estos invariantes representan una primera integración del sistema y pueden dar una imagen clara de la solución de algunos sistemas en el espacio fase. Tanto mecánica cuántica como mecánica estadística se basan en estos invariantes. La formulación Hamiltoniana de la mecánica tiene al Hamiltoniano como un invariante para sistemas autónomos (generalmente conservativos), y se ha utilizado para definir los estados fundamentales de un sistema cuántico, asociando el Hamiltoniano a los estados de energía del sistema. Esto es evidente para los sistemas ideales, donde de una manera no trivial, se puede construir un operador hermitiano mediante el principio de equivalencia, tal que ´este opere en el espacio de Hilbert. Por otro lado, el estudio de sistemas con muchos grados de libertad, en donde el análisis de cada uno de ellos resulta imposible, también utiliza los invariantes con base en la hipótesis ergódica, para construir una función de distribución y así formular la estadística que defina las propiedad del sistema completo. Los sistemas disipativos no son ajenos a un tratamiento de este tipo [1, 2, 3]. Para ellos se construye una función Lagrangiana, tal que genere las ecuaciones de movimiento disipativas, y así posteriormente construir el Hamiltoniano; además, han sido estudiados de manera satisfactoria en un sentido fenomenológico [4, 5, 6], donde partiendo de las mismas ecuaciones de movimiento se generan los invariantes, en lugar de adivinarlos (problema inverso de la mecánica) y es el enfoque que aquí emplearemos. Sin embargo, existe una serie de dificultades implícitas en la formulación Lagrangiana-Hamiltoniana para estos sistemas: la obtención de Hamiltonianos deja de ser trivial. Algunas veces es imposible obtener el Hamiltoniano para ciertos sistemas disipativos en una dimensión.