Aplicaciones del Lema de Yoneda en la estructura y comportamiento de las categorías abelianas

Abstract

La teoría de categorías fue introducida por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1945, con el objetivo de proporcionar un marco unificado para describir estructuras matemáticas y las relaciones entre ellas. Estos autores observaron que ciertas colecciones, el cual es una palabra ligeramente vaga que significa mas o menos lo mismo que un conjunto, como la categoría de todos los conjuntos, son demasiado grandes para ser tratadas como conjuntos en el sentido tradicional, lo que motivó el uso del concepto de clase Formalmente, una categoría consiste en una clase de objetos y, para cada par de objetos, una clase de morfismos entre ellos. Además, se define una operación de composición de morfismos que cumple las propiedades de asociatividad y la existencia de un morfismo identidad para cada objeto. Es posible distinguir diferentes tipos de categorías según la naturaleza de las colecciones involucradas. Una categoría pequeña es aquella en la que tanto la clase de objetos como las clases de morfismos son conjuntos. Por otro lado, una categoría se denomina localmente pequeña si, para cada par de objetos, el conjunto de morfismos entre ellos forma un conjunto. Muchas de las categorías mas utilizadas en maten áticas, como la categoría de conjuntos, grupos, grupos abelianos y la categoría de módulos sobre un anillo, son ejemplos de categorías localmente pequeñas, pero no pequeñas ,Notemos que las categorías de grupos, grupos abelianos y la categoría de módulos sobre un anillo, tienen una gran cantidad de propiedades en común, un ejemplo de ellas son la existencia de un núcleo y el conúcleo en todos sus morfismos. Entonces, en teoría de categorías existen categorías con estructuras especiales. Una de ellas es la categoría preadoptiva, a esta categoría con objeto cero, se le pide que la clase de morfismos de un objeto a otro, tenga estructura de grupo abeliano , y que con la composición cumpla la ley de distributivita por la izquierda y por la derecha. Luego dada una categoría preadoptiva al agregarle la propiedad de que contenga productos y coproductos finitos, se le llama aditiva. Considerando una categoría aditiva tal que cualquier morfismo tenga núcleo y conúcleo se le llama preabeliana y por último, una categoría es abeliana si es preabeliana y cumple la propiedad de que cada monomorfismo es núcleo de un morfismo y cada epomorfismo es conúcleo de un morfismo. Estos cuatro tipos de categorías son esenciales en el álgebra cuando estamos trabajando con monomorfismos, epimorfismos, núcleo y conúcleo, porque existen teoremas y proposiciones que en teoría de categorías son mas fáciles de demostrar que solo nos restringimos al propio objeto, [2] y [7]. Una muestra de este argumento se puede ver al principio de esta tesis, en donde se demuestran algunas proposiciones y teoremas, usando teoría de módulos basándonos en los libros [4] y [5].